Andres Großvater Benny Burakovsky fungierte von 1977 bis 1981 als Jugendcoach bei den Malmö Redhawks und bei der dänischen Juniorennationalmannschaft. Anschließend trainierte er von 1983 bis 1987 den Malmö IF in der schwedischen Division 1 und den IK Skäret in der Division 2.
Bennys Söhne, Robert und Mikael, wurden weitumherreisende Eishockeyprofis, die während ihrer Karriere auch in mehreren europäischen Ländern Station machten. Nachdem Robert in der Saison 1993/94 für die Ottawa Senators 23 Spiele bestritten hatte, ging er in der folgenden Spielzeit für den Klagenfurter EC erfolgreich auf Tore- und Punktejagd. Auch in der DEL war der Name Burakovsky bekannt. Robert stürmte von 1997 bis 1998 für die Kassel Huskies und zu Beginn der Saison 2001/02 für die DEG Metro Stars. Der elf Jahre jüngere Mikael war zum Ende der Spielzeit 1997/98 bei den Krefeld Pinguine engagiert.
Wenn man in einer Familie aufwächst, die dem Eishockeysport so verbunden ist wie die Burakovskys, dann liegt es einem jungen Menschen nahe, ebenfalls sein Glück als Profi zu versuchen. Andre durchlief die Juniorenmannschaften der Malmö Redhawks und der schwedischen Juniorennationalteams, bei denen er sich zweimal, bei der U18-WM 2011/12 und der U20-WM 2013/14 jeweils über den Gewinn einer Silbermedaille freuen durfte. Nachdem ihn die Washington Capitals beim NHL Draft 2013 in der ersten Runde an 23. Stelle ausgewählt hatten, wagte der Schwede zur Saison 2013/14 den Sprung über den großen Teich. Mit 41 Toren und 46 Assists in 57 Saisonspielen für die Erie Otters (OHL) empfahl sich der vielseitig einsetzbare Stürmer für die NHL.
Burakovsky gab am 9. Oktober, im Alter von 19 Jahren, sein Debüt für die Capitals im Spiel gegen die Canadiens. Postwendend erzielte er ein Tor. Auch in den folgenden drei Partien konnte er jeweils punkten (1 Tor, 3 Assists). Am Ende der Spielzeit 2014/15 hatte es Washingtons Nachwuchstalent auf neun Tore und 13 Vorlagen in 53 Einsätzen gebracht. Burakovsky konnte in der darauffolgenden Saison 2015/16 seine Ausbeute auf 17 Treffer und 21 Assists in 79 Spielen steigern.