Beim NHL Draft 1989 wählten ihn die Washington Capitals in der ersten Runde an Nummer 19 aus. Kölzig kam bereits in der darauffolgenden Saison zu seinen ersten zwei NHL-Einsätzen, die jedoch wenig erfolgreich für ihn verliefen. Bei den Auswärtsniederlagen gegen die Hartford Whalers (1:4) und die Toronto Maple Leafs (4:8) am 11. und 21. Oktober 1989 musste er in der Summe zwölf Mal die Scheibe passieren lassen. Seine dritte Chance, sich in der NHL zu beweisen, erhielt Kölzig am 7. Januar 1993 bei einem Gastspiel der Capitals in Philadelphia, doch diese Bewährungsprobe ging ebenso daneben. Beim Stande von 2:6 nach zwei Dritteln kam er in die Partie und kassierte zwei Tore bei sieben Schüssen.
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Der Durchbruch gelang Kölzig als Backup von Jim Carey ab der Saison 1994/95, in der er es bei 14 Einsätzen auf eine Fangquote von 90,2 Prozent und einen Gegentrefferschnitt von 2,49 brachte. Die Spielzeit 1997/98 begannen die Capitals mit Kölzig als ihre Nummer 1 im Tor und sie zogen mit ihm als sicheren Rückhalt in das Stanley Cup Finale 1998 ein. In diesem mussten sie sich jedoch den Detroit Red Wings per Sweep (0:4-Siege) geschlagen geben.
Für weitere neun Jahre bis zur Saison 2007/08 war Kölzig, der die Spitznamen 'Godzilla' und 'Olie the Goalie' bekam, Stammtorhüter des Klubs aus der US-Hauptstadt. In dieser Zeit wurde er neben der Vezina Trophy, mit dem Gewinn des NHL Foundation Player Awards (2000/01) und der King Clancy Memorial Trophy (2005/06) ausgezeichnet.
Kölzig stand für die Capitals 711 Mal im Tor, sowie acht Mal für die Tampa Bay Lightning in der Saison 2008/09. In 719 NHL-Partien brachte es Kölzig auf eine Bilanz von 303-297-63-24 mit einer Fangquote von 90,6 Prozent und einer GAA von 2,71 sowie auf 35 Shutouts.
Jonas Hiller Trophy (William M. Jennings Trophy)
Die William M. Jennings Trophy ist eine jährliche Auszeichnung, die an den/die Torhüter eines Teams verliehen wird, das die wenigsten Gegentore während der regulären Saison kassiert hat und der/die mindestens 25 Spiele bestritten hat/haben. Die Trophäe wurde zur Saison 1981/82 vom NHL Board of Governors zu Ehren des verstorbenen William M. Jennings, dem langjährigen Gouverneur und Präsidenten der New York Rangers und einem der größten Förderer des Eishockeysports in den Vereinigten Staaten, präsentiert.
Der Fribourger David Aebischer ebnete ab der Saison 2000/01 den Weg in die NHL für weitere großartige Torhüter aus der Schweiz. Mit seinem Gegentrefferschnitt von 2,52 in 214 NHL-Partien liegt er bei den Schweizer Torhütern in der Geschichte der NHL ganz vorne. Auf das Kriterium von mindestens 25 Spielen, kam er während seiner siebenjährigen NHL-Karriere mit den Colorado Avalanche, Montreal Canadiens und Phoenix Coyotes viermal.