Auch wenn Anton und Peter nicht die ersten Spieler waren, die aus der Tschechoslowakischen Republik über den großen Teich flohen, so waren es doch die, die für die mit Abstand größten Schlagzeilen sorgten. Weltweit zierte die Flucht der Stastnybrüder die Titelblätter der Zeitungen. Anton und Peter machten das schier Unmögliche wahr. Obwohl sie als Topspieler mit Argusaugen beobachtet wurden, gelang ihnen der Sprung nach Übersee.
In Quebec sorgten die beiden Slowaken schlagartig für Furore. Mit Peter und Anton mauserten sich die Nordiques in den kommenden Jahren von der Schießbude der Liga zu einem der heißesten Teams überhaupt.
Bereits in seiner Premierensaison erzielte Peter 109 Scorerpunkte (39 Tore, 70 Assists), womit er einen neuen Rookierekord aufstellte, der erst zwölf Jahre später von Teemu Selanne geknackt wurde.
Peter und Anton ebneten zahlreichen osteuropäischen Spielern den Weg, die in den folgenden Jahren in die NHL kommen sollten. Doch hierfür zahlten sie einen hohen Preis. Ihre Familie, die sie in Europa zurücklassen mussten, sah sich erheblichen Repressalien ausgesetzt. Ihrem Vater wurde von der Regierung die Arbeitsstelle und die Wohnung weggenommen und ihr Bruder Marian Stastny wurde von der Nationalmannschaft suspendiert.
Ein Jahr später nahm auch Marian das Heft in die Hand und folgte seinen beiden jüngeren Bruder nach Quebec, wo sie zeitweise zu dritt in einer Sturmreihe spielten. Am 5. Januar 1984 erzielten alle drei beim 8-3 Sieg gegen die Boston Bruins ein Tor.
Peter blieb der Nordiques-Franchise zehn Jahre lang treu. Auch wenn ihm die ganz großen Teamerfolge verwehrt blieben, da die Nordiques nie weit in die Stanley Cup Playoffs vorstießen, ist er einer der einflussreichsten Eishockeyspieler der 1980er Jahre. Mit 1.059 Punkten war er nach Wayne Gretzky der zweiterfolgreichste NHL-Spieler des Jahrzehnts.