1-0 kom efter att Anton Stålman lobbat ner pucken i anfallszon och Bruins-backen Matt Grzelcyk lurats av studsen och Tyler Johnson lagt upp för Palat.
Palat höll sig därefter framme och styrde in ett sitt fjärde i slutspelet efter att Victor Hedman skjutit från blå.
Hemmalaget replikerade efter 14:12 då Patrice Bergeron tryckte in pucken från nära håll i powerplay efter en rörig situation.
Efter 16:43 var dock Tampa Bays tvåmålsledning återställd då Anthony Cirelli tog hand om sin egen retur från Tuuka Rask i Bostonmålet och satte sitt första playoffmål i karriären.
- Vi fick till en riktigt bra förstaperiod, säger Lightning-backen Dan Girardi till NBC efter matchen. I den här arenan kan Bruins få med sig en massa energi av publiken men vi kunde få grepp på matchen med ett par snabba mål. Sen kunde vi kontrollera matchen bra.
- Vi har sedan det första mötet i matchserien lyft vårt spel i egen zon och haft bra kontroll på deras farliga förstakedja. Vi ligger tätt inpå dem och låser deras klubbor så att de har svårt att komma till. Vi har kommit igång bra nu och vi har en härlig stämning i laget, säger Girardi.
Boston jagade i den andra och tredje perioden en reducering men Andrei Vasilevskiy, Tampa försvaret och målramen kunde hålla emot.
Med 41,2 sekunder kvar av matchen fick istället Steven Stamkos sätta sitt första mål i matchserien då han fastställde slutresultatet 4-1 i öppen kasse.
- Vår kedja har spelat bra de två senaste matcherna, säger tvåmålsskytten Palat till NHL.com/sv efter matchen. Vi tittade på en del spelsekvenser på video efter den första matchen vilket gjort att vi hittat sätt att snabbare ta oss ur egen zon. I offensiven hjälper vi varandra på ett bra sätt.
- Vi försökte spela enkelt idag och inte bjuda på några omställningslägen, fortsätter Palat. De senaste matcherna har vi inte gett dem någon tid i uppspelen vilket gjort att vi kan spela mer i deras zon.
Match 4 spelar i TD Garden Arena i Boston natten mot lördag.
