Der am 23. September 1988 in Morges geborene Defensivspezialist wurde beim NHL Draft 2007 an Position 73 von den Montreal Canadiens ausgewählt. In bislang 497 Spielen in der besten Eishockeyliga der Welt gelangen ihm 28 Tore und 66 Vorlagen, was sich zu 94 Punkten aufaddiert. Hinzu kommen weitere 42 Spiele in den Stanley Cup Playoffs, bei denen ihm in Summe vier Treffer und zwei Assists gelangen.
Seit der Saison 2016/17 agierte der Schweizer in Nashville. Er stellte in seiner Premierenspielzeit dort seine beste Bilanz auf. Während der regulären Saison wurden ihm 73 Saisoneinsätze zugebilligt, bei denen ihm acht Punkte gelangen (ein Tor, sieben Assists).
In der verkürzten Spielzeit 2019/20 kam Weber lediglich zu 41 Einsätzen in 69 Spielen. Ihm gelangen dabei drei Zähler (ein Treffer, zwei Assists). In der Postseason 2020 blieb er in vier Partien punkt- und torlos.
Das war zu wenig für einen neuen Vertrag bei den Predators, wie deren General Manager David Poile Ende September verlautbarte. Damit schaffte das Team frühzeitig klare Verhältnisse in Bezug auf Webers Zukunft in Tennessee. Weber selbst hatte sich noch vor Beginn der Playoffs optimistisch gezeigt, was einen Verbleib über das Saisonende hinaus betrifft.
Im Juli gab er sich im Interview mit dem Schweizer Fernsehsender SRF zuversichtlich, bezüglich eines neuen Vertrags bei den Predators: "Ich bin positiv, dass es hier weitergeht."
Auch damals war ihm schon klar gewesen, dass die Leistungen in der K.o.-Phase hinsichtlich seiner sportlichen Zukunft entscheidend sein werden. "Am Ende liegt es an mir und meinen Leistungen. Ich muss in diesen Playoffs zeigen, dass ich noch fit bin und in diese Mannschaft gehöre", betonte Weber.