Il s'agit du plus récent arrêt dans le parcours remarquable de Geoffrion dans le hockey. Il était débarqué dans la LNH rempli de promesses après un séjour à l'Université du Wisconsin, ayant remporté le trophée Hobey Baker, remis au meilleur joueur dans les rangs universitaires américains, en 2010.
Les Predators de Nashville allaient cependant avoir besoin de patience, après avoir sélectionné l'attaquant en deuxième ronde (56e au total) du Repêchage 2006 de la LNH. Geoffrion, né en Floride, mais élevé à Nashville à partir de l'âge de 1 an, a passé quatre années au Wisconsin avant de se joindre aux Predators pour 20 matchs en 2010-11, puis 22 autres en 2011-12, amassant un total de 11 points (six buts, cinq passes).
Puis, le 17 février 2012, il a été échangé aux Canadiens de Montréal avec l'attaquant Robert Slaney et un choix de deuxième ronde au Repêchage 2012 en retour du défenseur Hal Gill et d'un choix conditionnel de cinquième tour au Repêchage 2013. Dans les faits, Geoffrion quittait l'équipe de sa ville d'enfance pour rejoindre celle de sa famille, devenant le quatrième membre de sa lignée à jouer pour la plus ancienne concession de la LNH.
Son arrière-grand-père, Howie Morenz, a été l'un des plus grands joueurs lors des premières années de l'histoire de la Ligue, gagnant la Coupe Stanley trois fois avec Montréal et le trophée Hart, remis au joueur le plus utile à son équipe, à trois reprises. Son grand-père Bernard Geoffrion a été une vedette des Canadiens dans les années 1950 et au début des années 1960, soulevant la Coupe six fois et remportant le trophée Calder, remis à la recrue de l'année, ainsi que les trophées Hart et Art-Ross, remis au meilleur marqueur de la Ligue, à deux reprises. Le père de Geoffrion, Danny, a disputé 32 rencontres avec Montréal en 1979-80, plus de trois décennies avant que Blake soit acquis dans une transaction.