Тимашов родился в украинском Кировограде. В раннем детстве его перевезли в Швецию, где он начал заниматься хоккеем в системе клубов "МоДо" и "Юргорден". В Северную Америку Тимашов уехал в 2014 году. По итогам сезона 2014-15 годов его признали лучшим новичком Главной юниорской хоккейной лиги Квебека (QMJHL). Форвард тогда стал лучшим бомбардиром QMJHL среди дебютантов, заработав 90 (19+71) баллов за результативность в 66 играх.
В том же 2015 году нападающий был выбран "Торонто Мэйпл Лифс" в пятом раунде драфта под 125-м номером. Следующие три сезона Тимашов провел в АХЛ, лучшим из которых стал чемпионат 2018-19 годов. В нем хоккеист записал на свой счет 49 (14+35) очков в 72 играх.
В НХЛ Тимашов дебютировал в минувшем сезоне, сыграв 39 матчей за "Мэйпл Лифс". Проводя на льду в среднем чуть больше восьми минут (8:09), 24-летний форвард набрал девять (4+5) баллов.
Подписывайтесь на нас во ["ВКонтакте", Facebook и Twitter для другого эксклюзивного контента и новостей НХЛ!]
23 февраля 2020 года "Торонто" выставил Тимашова на драфт отказов. На следующий день он стал игроком "Ред Уингз" и сыграл за эту команду пять матчей, не набрав очков.
В этом году у Тимашова завершился срок действия трехлетнего контракта на $2,555 млн (среднегодовая стоимость договора - $851 667), и он получил статус ограниченно свободного агента.
