L'ailier gauche de 24 ans a passé la majorité de la campagne 2016-2017 avec les IceCaps de St. John's dans la Ligue américaine, inscrivant six buts et amassant 10 mentions d'aide pour un total de 16 points en 53 parties. Il a également purgé 59 minutes de punitions et présenté un différentiel de plus-6.
Veilleux a aussi disputé 11 rencontres avec le Beast de Brampton dans l'ECHL, récoltant 11 points, dont trois buts.
Choix de quatrième tour, 102e au total, des Blues de St. Louis au repêchage de 2011, l'attaquant originaire de Saint-Hippolyte, a porté les couleurs des Cataractes de Shawinigan et des Wildcats de Moncton dans la Ligue de hockey junior majeur du Québec, de 2009-2010 à 2012-2013.
