Le défenseur de 6'01'' et 203 lb a obtenu 51 points (12 buts, 39 aides) en 68 matchs avec le Ice de Kootenay et les Pats de Regina de la WHL en 2017-2018. Âgé de 19 ans, Fleury a terminé au premier rang parmi les défenseurs des Pats avec un total combiné de 51 points. Il a ajouté quatre points (0-4-4) en sept rencontres de séries, toutes dans l'uniforme des Pats. Il a aidé les Pats à prendre part au tournoi de la coupe Memorial, Regina s'inclinant en finale.
Choix de troisième tour, 87e au total, des Canadiens lors du repêchage de la LNH en 2017, Fleury a disputé 269 matchs dans la Ligue de l'Ouest (WHL) avec Kootenay (2014-2015 à 2017-2018) et Regina en 2018. Capitaine de la formation de Kootenay à ses deux dernières saisons, le défenseur originaire de Calgary a récolté 32 buts et 95 aides pour 127 points et purgé 178 minutes de punition en carrière chez les juniors. En séries éliminatoires, il a amassé cinq aides en 14 matchs, soit sept avec chacune des deux formations de la Ligue de l'Ouest.
Fleury évolue présentement avec le Rocket de Laval, le club-école des Canadiens dans la Ligue américaine.